Geometria Analítica: Circunferência — Equação Reduzida e Geral
Dominando a equação da circunferência nas formas reduzida e geral, com cálculo do centro, raio e conversão entre formas para ENEM, EEAR e EsPCEx.
Cheat Sheet em tópicos
- Forma reduzida: (x−h)²+(y−k)²=r², centro C(h,k) e raio r.
- Forma geral: x²+y²+Dx+Ey+F=0; extrair centro e raio por completamento de quadrados.
- D = −2h, E = −2k, F = h²+k²−r².
- Circunferência com centro na origem: x²+y²=r².
- Para ponto P(x₀,y₀) na circunferência: (x₀−h)²+(y₀−k)²=r².
Fórmula-chave
$$( x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\quad;\quad x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$
Explicação detalhada
Visão geral
A circunferência em Geometria Analítica une a definição geométrica (todos os pontos a distância r do centro) com a álgebra de coordenadas. Para concursos militares (EEAR, EsPCEx, EsAEx) e ENEM, as habilidades mais cobradas são: identificar centro e raio na forma geral, escrever a equação dado centro e raio, e verificar se um ponto pertence à circunferência.
Forma reduzida — ponto de partida
A equação reduzida é direta: centro C(h, k) e raio r, tudo explícito. Quando h = 0 e k = 0, simplifica para x² + y² = r² (circunferência centrada na origem).
Forma geral — leitura exige decodificação
Expandindo a forma reduzida: x² + y² − 2hx − 2ky + (h² + k² − r²) = 0. Logo:
- D = −2h → h = −D/2
- E = −2k → k = −E/2
- F = h² + k² − r² → r² = h² + k² − F
Passo a passo: extrair centro e raio da forma geral
- Agrupar termos em x e y separadamente.
- Completar o quadrado em x: x² + Dx → (x + D/2)² − (D/2)²
- Completar o quadrado em y: y² + Ey → (y + E/2)² − (E/2)²
- Reescrever na forma reduzida e ler C e r.
Exemplo: x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0
- (x² − 4x) + (y² + 6y) = −4
- (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = −4
- (x − 2)² + (y + 3)² = 9
- Centro: C(2, −3); Raio: r = 3
Verificar se ponto pertence à circunferência
Substitua as coordenadas na equação. Se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence; se o resultado for menor que r², o ponto está dentro; se maior, fora.
Posição relativa reta-circunferência
- Secante: dois pontos de interseção (discriminante > 0)
- Tangente: um ponto de interseção (discriminante = 0)
- Exterior: nenhum ponto (discriminante < 0)
Distância centro-reta e raio
Se a distância d do centro C(h,k) à reta for dada: d < r → secante; d = r → tangente; d > r → exterior.
Erros clássicos
Erro 1: Ao ler a forma reduzida (x − 3)², concluir que h = −3. O centro é h = +3.
Erro 2: Esquecer de completar o quadrado para os dois eixos, ou errar o sinal na transferência.
Erro 3: Calcular r ao invés de r² ao comparar com a forma geral (F não é −r², é h²+k²−r²).
Dedução: da Forma Reduzida à Geral
A forma reduzida (ou canônica) é o ponto de partida:
\[(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\]
Expandindo os quadrados:
\[x^{2} - 2hx + h^{2} + y^{2} - 2ky + k^{2} = r^{2}\]
Passando \(r^{2}\) para a esquerda:
\[x^{2} + y^{2} - 2hx - 2ky + (h^{2} + k^{2} - r^{2}) = 0\]
Comparando com \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), identificamos:
\[D = -2h \quad E = -2k \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\]
🎯 Recorrência EEAR/EsPCEx: converter entre as duas formas e calcular r. Saber que \(r^{2} = h^{2} + k^{2} - F\) (isolar r²) é cobrado com alta frequência.
Tabela Comparativa das Formas
| Forma | Equação | Centro | Raio |
|---|---|---|---|
| Reduzida | (x−h)²+(y−k)²=r² | diretamente (h, k) | diretamente r |
| Geral | x²+y²+Dx+Ey+F=0 | (−D/2, −E/2) | r² = D²/4 + E²/4 − F |
| Centrada | x²+y²=r² | origem (0,0) | diretamente r |
Prática ativa do tema
Use este bloco para testar retenção, identificar lacunas e revisar com intenção.
Exercícios com gabarito oculto
1. Determine o centro e o raio de (x+2)²+(y−5)²=16.
2. Escreva a equação geral da circunferência com centro C(1,−3) e raio 5.
3. O ponto P(3,4) pertence à circunferência x²+y²=25?
Formas da equação da circunferência
| Forma | Equação | Leitura direta |
|---|---|---|
| Reduzida | (x−h)²+(y−k)²=r² | Centro C(h,k), raio r |
| Geral | x²+y²+Dx+Ey+F=0 | h=−D/2, k=−E/2, r²=h²+k²−F |
| Centrada na origem | x²+y²=r² | Centro (0,0), raio r |
Caiu no ENEM
Circunferência é cobrada fortemente na EEAR e EsPCEx, exigindo conversão entre formas e cálculo de posição relativa.
Dica de Ouro
Antes de calcular, reescreva o enunciado em linguagem matemática e destaque unidade, relação e incógnita. Em Geometria Analítica: Circunferência — Equação Reduzida e Geral, isso evita montar proporções ou expressões inconsistentes.
Cuidado: Erro Comum
Operar direto nos números sem validar se a relação é a correta para "Forma reduzida: (x−h)²+(y−k)²=r², centro C(h,k) e raio r." e "Forma geral: x²+y²+Dx+Ey+F=0; extrair centro e raio por completamento de quadrados.".
Dúvidas Frequentes
O que é completar o quadrado em Geometria Analítica?
Técnica algébrica que transforma x²+Dx em (x+D/2)²−(D/2)², permitindo identificar o vértice de parábolas e o centro de circunferências na forma geral.
Circunferência pode ter r²<0?
Não. Se após o completamento de quadrados o lado direito for negativo, a equação não representa circunferência real.
Como detectar que a equação representa uma circunferência?
Os coeficientes de x² e y² são iguais e positivos, sem termo xy. Na forma geral: x²+y²+Dx+Ey+F=0 com coeficiente 1 para ambas as potências.